Ciao! Sì, le due frasi sono corrette con due significati leggermente differenti:
In primavera arrivano le allergie. Quando? Complemento di tempo, ci dice quando arrivano le allergie,
Con la primavera arrivano le allergie. Con che cosa? Complemento di unione, insieme alla primavera. In realtà anche in questo caso si parla di tempo (nello stesso momento).